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Calcolare le dimensioni dei televisori 16/9

a partire dalla diagonale misuriamo base e altezza

schermoLa forma dei moderni televisori a schermo piatto, si avvicina a quella del cinema. Dal vecchio formato 4/3 si è passati al più coinvolgente formato 16/9.

I due numeri 16 e 9 indicano la proporzione tra le dimensioni di base e altezza del rettangolo in cui vengono visualizzate le immagini. Se la base è di 16 centimetri, l’altezza sarà di 9 centimetri. Ovviamente queste dimensioni aumentano se lo schermo è più grande, ma rimangono sempre proporzionali ai valori 16 (per il lato orizzontale) e 9 (per il lato verticale).

Per indicare in modo rapido la dimensione di uno schermo televisivo o di un monitor, si usa fornire la misura della diagonale, espressa in pollici. A partire dalla diagonale è possibile avere una idea della grandezza complessiva dello schermo, grazie alla sua forma rettangolare e alla proporzione fissa tra la base e l’altezza.

Ma come si calcolano questi valori? Come si ottiene la dimensione reale della superificie di visualizzazione di un televisore widescreen?

 

 

POLLICI E CENTIMETRI

La prima cosa da fare è convertire la misura della diagonale da Pollici a Centimetri. Un Pollice (chiamato in inglese inch e indicato con due apicetti, tipo 23 o 19) equivale a 2,54 cm esatti.

Misura in cm= Misura in Pollici * 2,54

 

PITAGORA E IL SUO TRIANGOLOrelazioni

Il Teorema di Pitagora mette in relazione la diagonale e i cateti di un triangolo rettangolo. Se indichiamo con d la diagonale (ipotenusa) con b la base e con a l’altezza, abbiamo:

d2=a2+b2

Se conosciamo un lato (cateto) e la diagonale, possiamo calcolare l’altro lato con il Teorema di Pitagora. Nel nostro caso non conosciamo nessuno dei due cateti, ma sappiamo che sono proporzionali ai numeri 16 (cateto lungo) e 9 (cateto corto).

Supponiamo di avere un triangolo con b=16 cm e a=9 cm. Applichiamo il Teorema di Pitagora e ricaviamo la diagonale d.

d= SQR(92+162)= 18.3576

Il nostro Triangolo Standard, ha una diagonale di 18.3576 (in pollici 7,227″). Possiamo usare questa diagonale, che chiamiamo ds (diagonale standard) per determinare il fattore di scala per qualsiasi diagonale.

Allo stesso modo chiamiamo as e bs i cateti standard con le misure di a=9 e b=16.

Ricaviamo il fattore di scala dividendo la diagonale del nostro schermo, con il valore ds della diagonale standard. Chiamiamo questo fattore di scala Rd. Per conoscere le dimensioni di base e altezza, basta moltiplicare i lati bs e as per il fattore Rd.

b= bs*Rd

a= as*Rd

Consideriamo per esempio un TV da 23″.

d= 23″= 23*2.54= 58.42 cm (diagonale in centimetri)

Rd= d/ds= 58.42/18.3576= 3.1823 (fattore di scala)

b= 16*3.1823= 50.917 cm

a= 9*3.1823= 28.641 cm

Quindi un televisore con diagonale da 23 pollici, ha uno schermo da 51 x 29 centimetri circa.

Ricapitolando:

Rd= d/ds= d/18.3576

b= bs*Rd= 16*Rd

a= as*Rd= 9*Rd

 

 

CON LA TRIGONOMETRIAtrigon

Possiamo raggiungere lo stesso risultato facendo uso delle relazioni trigonometriche. Il rapporto tra altezza e base del nostro triangolo rettangolo è 9/16. Ma questo rapporto è anche la tangente dell’angolo x, formato dalla diagonale e dalla base b.

a/b= tan x= 9/16

da cui

tan x= 0.5625

Possiamo conoscere l’angolo x con la funzione inversa della tangente, la arcotangente.

x= arctan(tan x)

cioè

x= arctan(0.5625)= 29.358

Il valore dell’angolo x è lo stesso per tutti i televisori, quindi abbiamo un numero jolly, valido per tutte le misure.

Con le relazioni trigonometriche tra il raggio del cerchio e le sue proiezioni, possiamo ricavare la misura di base e altezza.

a/d= sin x

b/d= cos x

da cui

a= d*sin x

b= d*cos x

Facciamo l’esempio con il triangolo di riferimento, quello con base=16 e altezza=9. Sappiamo che la diagonale d=18.3576

a= 18.3576*sin 29.358= 9

b= 18.3576*cos 29.358= 16

Ricapitolando

a= d*sin 29.358= d*0.4903

b= d*cos 29.358= d*0.8716

 

Approssimazione:

I valori numerici sono stati approssimati alla quarta cifra decimale, valore più che sufficiente per ottenere misure attendibili.

 

CONCLUSIONI

Naturalmente la misura della superficie di visione, non sempre ci dice quanto spazio occupa un televisore widescreen. Tuttavia la tendenza dei costruttori è quella di rendere sempre meno invasivo lo chassis, per dare un forma essenziale e funzionale al tempo stesso.

Altro discorso riguarda la distanza ottimale di visione. Argomento non banale che vi illustrerò prossimamente.

 

  1. Michelangelo
    4 febbraio 2010 a 15:50 | #1

    Grazie sul serio,
    molto esaustivo!

  2. Marco
    13 gennaio 2011 a 11:13 | #2

    Ottima spiegazione
    Quindi il succo è che basta moltiplicare i pollici dichiarati
    x 2,21 per trovare la larghezza
    x 1,24 per trovare l’altezza

    quindi un 32″ risulta essere 70,72 cm di larghezza e un 42″ 92,82 cm, escluso bordo

    Questo perchè se moltiplichiamo e dividiamo per 3 costanti (*2,54 :18,35 *16)in realtà basta moltiplicare per una sola costante che sia il calcolo delle 3. ;-)

  3. Vincenzo
    8 novembre 2011 a 14:25 | #3

    Spiegazione brillante,ma un grazie anche a Marco,per la sua perpicacia!

  4. Laura
    9 ottobre 2012 a 8:52 | #5

    Sconvolta di fronte a tanta cultura, ringrazio per un dato essenziale, che mi sembra veramente utile per tutti: moltiplicare i pollici per 2,54 (=centimetri) e misurare la diagonale dello schermo esclusi i bordi.

    Più semplice e più utile ancora sarebbe una tabellina:
    19″ = cm. 48,26 misurati in diagonale
    32″ = cm. 81,28 misurati in diagonale
    42″ = cm. 106,68 misurati in diagonale

    Ma io ragiono da ignorante: mi piacciono le cose spiegate in modo facile, “a prova di cretino”…

    • TI
      2 novembre 2012 a 16:32 | #6

      Grazie per le note di apprezzamento. E grazie per il tuo contributo Laura. Tutto il mio lavoro tende ad essere alla portata di tutti. Le persone come te mi regalano una grande gioia.

  5. 29 gennaio 2013 a 17:16 | #7

    molto chiaro ed esaustivo anche per me che sono a digiuno di cognizioni tecniche, ma ora se possibile vorrei una spiegazione tecnica per me, forse banale per gli altri.

    la domanda è :”un televisore formato 16/9 con diagonale di 30 pollice o 40″ come visualizza sullo schermo, o come appare l’immagine, se la grandezza dell’immagine è più grande? Per esempio — se sul 30 pollice o altro … l’immagine a 32 pollici o diversa, ma sempre più grande della diagonale del televisore, come viene mostrata? la si vede rimpicciolita o tagliata? grazie in anticipo se mi sarà data una risposta.

  6. salvina
    11 luglio 2013 a 15:56 | #8

    Geniaccio!!!! ma come fai!!!!
    e dire che io adoro la matematica!!!!
    complimenti :-)))))))
    @Marco

  7. Edoardo
    23 agosto 2013 a 10:41 | #9

    Un aiuto gentilmente se potete….devo comprare uno schermo per il videoproiettore un 16:9 lo spazio che ho è al massimo per 93 pollici..in base a quello che ho letto dovrei trovare uno schermo di 207,74 larghezza e 116.56 altezza…giusto??

  1. 24 settembre 2009 a 10:24 | #1
  2. 24 settembre 2009 a 10:27 | #2